Rapport om betaling for rentegaranti

KAPITEL 4 Konkrete modeller

 4.1 Indledning

Forudsætningen for en nærmere analyse af de tidligere beskrevne problemstillinger omkring rentegarantien er, at det er muligt at beregne »prisen« for de afgivne rentegarantier.

I den forbindelse er det interessant isoleret at kunne beregne prisen for garanterede grundlagsrenter på 3 pct. og 5 pct., hvilket typisk svarer til opgørelsesrenter på henholdsvis 2,5 pct. og 4,5 pct. Herved bliver det muligt at vurdere forskellen i priserne, idet denne forskel er relevant, når formålet er at sikre en ensartet behandling af kunder med rentegarantier på 3 pct. sammenholdt med kunder med en rentegaranti på 5 pct.

Nedenfor er beskrevet 4 modeller: Markedsværdimodellen, Buffermodellen, Solvensmodellen og Etårsmodellen. Ud fra forskellige modelforudsætninger søger de at beregne prisen for afgivne rentegarantier. Der er så vidt muligt anvendt fælles, eller i det mindste konsistente, beregningsforudsætninger. Modellerne vedrører alene forsikringers opsparingsdel.

Overordnet fokuserer alle modellerne på den problemstilling, der er knyttet til, at selskaberne B grundet de anvendte beregningsgrundlag med en fast opgørelsesrente B alt andet lige er nødt til årligt at opskrive livsforsikringshensættelserne med mindst denne opgørelsesrente. Dette kan give anledning til økonomiske tab for selskaberne, såfremt de underliggende investeringer ikke genererer et afkast, der mindst er lige så stort som den faste opgørelsesrente.

I Markedsværdimodellen beregnes prisen for rentegarantien ud fra et ækvivalensprincip på policeniveau, idet selskabets faktiske bonuspolitik søges beskrevet gennem en udjævning af de realiserede markedsafkast.

I Buffermodellen fastsættes prisen ud fra simuleringer af bogførte regnskabsresultater. Prisen beregnes på policeniveau ud fra det større fradrag, der bør foretages i indbetalingen til en forsikring med en rentegaranti på 5 pct. i forhold til forsikringer med en rentegaranti på 3 pct. for at sikre rimelighed mellem disse to grundlag.

Solvensmodellen er baseret på simuleringer af bogførte regnskabsresultater, hvor rentegarantipræmien fastsættes ud fra størrelsen af de midler, der skal tilføres, når solvensen kommer under visse på forhånd fastsatte grænser. Modellen anlægger i modsætning til de to forudgående en bestandsbetragtning, men kan også anvendes på policeniveau.

Etårsmodellen er en model, hvor obligationsafkastet forudsættes at være givet, således at fastsættelsen af rentegarantipræmien primært afspejler den stokastiske usikkerhed, der er knyttet til aktieafkastet.

I aktuar- og finanslitteraturen findes en række analyser af prisen for rentegarantien. De fleste af disse fremstillinger er baseret på finansiel optionsteori og knytter sig primært til standard unit-linked policer, en produkttype som ikke er særligt udbredt i Danmark. Udvalget har ikke gennemgået disse fremstillinger, men der kan bl.a. henvises til Brennan and Schwartz (1976), Boyle and Schwartz (1976), Bacinello and Ortu (1993) og Aase and Persson (1994). Senest har Grosen and Jørgensen (1997) studeret rentegarantibetaling under forudsætning af garanterede genkøbsværdier. Brüniche-Olsen og Perch Nielsen (1997) har studeret aktiekursernes betydning for selskabernes buffere.

Modellernes simulationer og de deraf følgende betragtninger er i vidt omfang analoge med det arbejde, som the Maturity Working Party (1980) under the Institute of Actuaries gennemførte. De analyserede den investeringsmæssige risiko ved specielt aktieinvesteringer, når der samtidig er tilknyttet garanterede udløbsværdier. Senest har Boyle and Hardy (1996) ved hjælp af simulationer beregnet eksempler på rentegarantibetalingen for Canadiske unit-linked policer, når garantien omfatter en minimumsbetaling på henholdsvis 75 pct. og 100 pct. af de indbetalte præmier.

4.2 Typer garantier

4.2.1 De mest almindelige produkters rentegarantier

Ingen garanti:

Der udstedes ikke nogen garanti. Dog kan kunderne ikke miste mere, end de har skudt ind i ordningen. Eksempler på denne garantiform er rene unit-linked-produkter og visse af bankernes puljeordninger.

Rentegaranti på 0 pct. på indskuddet:

Kunden garanteres indskuddet (med fradrag for risikopræmie og omkostninger), hvilket svarer til en 0 pct. forrentning af indskuddet til udløb eller ved død forinden. Garantien gælder alene ved død eller udløb, men ikke ved genkøb. Denne type forsikringer udbydes bl.a. af visse af de danske forsikringsselskabers udenlandske datterselskaber.

Rentegaranti på 0 pct. på indskuddet og efterfølgende positivt nettoafkast:

Kunden garanteres både indskud, præmier og positive nettoafkast opnået undervejs i investeringsperioden. Således vil det udjævnede afkast, der efter en periode tilskrives den forsikredes konto, være garanteret 0 pct. i forrentning i forsikringens restløbetid. De én gang tilskrevne positive nettoafkast kan således ikke efterfølgende blive formindsket. Garantien gælder ved død eller udløb, men ikke ved genkøb. Disse garantier er typisk anvendt i Investselskaber.

Rentegarantier på 2,5 pct. og 4,5 pct. (G 82 grundlagene):

Disse beregningsgrundlag indeholder på et hvilket som helst tidspunkt en forudsætning om en rentegaranti på 2,5 pct. henholdsvis 4,5 pct. af indskud, præmier og tilskrevet bonus i forsikringens restløbetid, når der tegnes bonustillægsforsikringer på tarifgrundlaget. I forbindelse med genkøb kan der dog under forskellige forudsætninger ske et fradrag i forsikringens værdi. I nogle tilfælde er der også ydet en garanti for genkøbsværdien. Dette er de mest udbredte garantiformer i Danmark.

Rentegarantier på op til 20 pct.:

Denne garantiform, der typisk kendes fra U 74 livrenter uden ret til bonus, garanterer kunden en høj fast rente på op til 20 pct. Til gengæld deltager disse policer ikke i overskudsdelingen. Bestande på dette beregningsgrundlag er i visse tilfælde skilt ud i særlige selskaber.

4.2.2 Betaling for rentegaranti i G 82 grundlagene

For bonusberettigede livs- og pensionsforsikringer opgjort efter gennemsnitsrenteprincippet definerer G 82 grundlagene et kombineret omkostnings- og sikkerhedstillæg. Dette tillæg er defineret som forskellen på en given forsikrings grundlagsrente og opgørelsesrente specificeret i grundlaget. Det samlede omkostnings- og sikkerhedstillæg er afsat til at dække følgende udgifter for selskabet:

- Omkostninger

- Dækning af risiko grundet variationer i personrisici (personrisikotillæg)

- Dækning af risiko grundet variationer i investeringsafkastet (rentegarantitillæg)

Selvom det ikke er muligt direkte at splitte omkostnings- og sikkerhedstillægget ud på de tre poster, er det ud fra grundlagenes specifikation af dette tillæg muligt at udtale sig om nogle af de rentegarantiforudsætninger, der har ligget til grund for udviklingen af G 82 grundlagene.

Der kan i G 82 grundlagene gøres følgende iagttagelser:

- Omkostnings- og sikkerhedstillægget vokser med stigende grundlagsrente

- Der er defineret en (tilnærmelsesvis) fast nedre grænse for tillæggets størrelse.

Idet det ikke synes rimeligt at argumentere for, at niveauet for forsikringens grundlagsrente har nogen nævneværdig indflydelse på hverken selskabers omkostningsniveau eller personrisici, afspejler det voksende omkostnings- og sikkerhedstillæg ved stigende grundlagsrente en forudsætning om større renterisiko, når grundlagsrenten er høj.

Selvom rentegarantirisikoen afhænger af størrelsen af grundlagsrenten, er det trods alt stadig rimeligt at opretholde en nedre grænse for omkostnings- og sikkerhedstillægget, der under alle omstændigheder skal være stort nok til at dække selskabets omkostninger og personrisici.

Hvis det forudsættes, at stigningen i omkostnings- og sikkerhedstillægget ved stigende grundlagsrente alene skyldes den stigende rentegarantirisiko, kan de implicitte rentegarantirisikopræmier ved forskellige grundlagsrenteniveauer udledes. Som eksempel kan nævnes, at forskellen på rentegarantirisikopræmien for en årlig grundlagsrente på 5 pct. sammenlignet med en årlig grundlagsrente på 10 pct. er 0,28 pct. beregnet af hensættelsen.

4.3 Modellernes fælles forudsætninger

Det er valgt at foretage beregninger i de fire modeller på baggrund af nogle grundlæggende fælles beregningsforudsætninger om afkast, inflation og aktivporteføljens sammensætning. Dette for at illustrere nogle af de forskelle i beregningsresultaterne, der primært kan tilskrives modellernes forskellige funktionsmåder.

Det skal bemærkes, at modelleringerne af afkastforudsætningerne bevidst er gjort relativt simple, men at disse modeller kan raffineres på forskellig vis.

Forudsætninger for afkastet er i det følgende udtrykt i reale termer. Disse kan omregnes til nominelt afkast ud fra forskellige inflationsforudsætninger.

De overordnede afkastforudsætninger tager udgangspunkt i, at nominelle obligationer og indeksobligationer over tid giver et realt afkast på 3 pct.

Det reale aktieafkast forudsættes over tid at være 5 pct. Dette skøn er baseret på empiriske observationer af det faktiske aktieafkast i perioden 1945 til 1996 ( bilag 3). Skønnet understøttes af en række uafhængige analyser, der viser, at aktier giver et realafkast, der er 2 til 3 procentpoint højere end det realafkast, der kan opnås på obligationer. Det kan diskuteres, hvorvidt historiske afkast kan benyttes til at danne realistiske forventninger om fremtidige afkast. Ideelt set bør også den forventede realøkonomiske udvikling tages i betragtning, når der skal dannes skøn over den fremtidige afkastudvikling.

Herudover er der fælles forudsætninger for, hvor meget afkastniveauet varierer. Dette er modelleret i en model, hvor det er logaritmen til afkastene, der modelleres, og hvor der gås ud fra, at (logaritmen til) et givet års afkast i et vist omfang er afhængig af (logaritmen til) det foregående års afkast. En sådan model kaldes en autoregressiv model af 1. orden, en såkaldt AR(1)-model. At modellen er af 1. orden betyder, at der er afhængighed mellem middelværdien af observationerne i to på hinanden følgende perioder. Det kan diskuteres, om den relevante periode at forudsætte afhængighed mellem netop er et år, men denne periode er valgt, så den følger regnskabsperioderne, der er på et år. Hvor stor afhængighed, der er mellem afkastet i to på hinanden følgende år, afhænger af modellens tilbagefaldsparameter. I det følgende forudsættes en tilbagefaldsparameter på -0,3⁸, der er skønsmæssigt fastsat.

De talværdier, der anvendes til at nå frem til de konkrete forudsætninger for variationen i afkastet, er ligeledes empiriske observationer af markedsafkastet for forskellige porteføljer i perioden 1945 til 1996. I disse porteføljer indgår såvel danske aktier som udenlandske aktier og nominelle obligationer. Effekten af realrenteafgiften på det faktiske afkast er indregnet for perioden 1984 til 1996.

Under disse antagelser fås følgende afkastforudsætninger efter realrenteafgift i pct. i reale værdier:

Tabel 4.1

Reale afkastforudsætninger efter realrenteafgift i pct.

Som det fremgår, vil en portefølje, der alene består af obligationer, have et realt middelafkast på 3,0 pct. og en hypotetisk ren aktieportefølje vil have et realt middelafkast på 5 pct. Standardafvigelsesparameteren viser, hvor meget afkastet kan svinge i forhold til dette middelafkast. Det ses, at udsvingene i forhold til middelafkastet stiger med stigende andel af aktier i porteføljen. Det skal bemærkes, at modellen er modelleret i markedsafkast. Bogføringsreglerne, herunder det matematiske kursopskrivningsprincip for obligationer vil dæmpe effekten af afkastets variation.

I de følgende modeleksempler anvendes en forudsætning om en porteføljesammensætning med 80 pct. obligationer og 20 pct. aktier, svarende til et realt middelafkast på 3,4 pct. og en standardafvigelsesparameter på 10,5. I en model, der regner i nominelle termer, svarer dette ved et inflationsniveau på 2 pct. til et middelafkast på 5,47 pct⁹.

I de efterfølgende centrale modelkørsler forudsættes et inflationsniveau på henholdsvis 2 og 3 pct. Resultaterne vises for forskellige løbetider mellem 5 og 40 år.

Der er ikke udarbejdet fælles forudsætninger for så vidt angår den bonuspolitik, der anvendes i de forskellige modeller. Dette skyldes til dels, at modellernes forskellige opbygning gør det vanskeligt at ensrette dette aspekt. Som det vil fremgå af de efterfølgende modelkørsler, vil niveauet for en eventuel betaling for en rentegaranti være stærkt afhængig af, hvor offensiv en bonusstrategi, der forudsættes. Det skyldes, at en offensiv bonuspolitik alt andet lige vil betyde mindre buffere i selskaberne og dermed større følsomhed overfor udsving i afkastniveauet.

Modelkørsler, der illustrerer betydningen af ændringer i de fælles forudsætninger, er vist i bilag 4 - 7.

4.4 Modellerne

4.4.1 Markedsværdimodellen

Indledning
Modellens fastsættelse af pris på rentegaranti bygger på det forsikringsmæssige ækvivalensprincip. Ifølge dette princip fastsættes en præmie, så den forventede nutidsværdi af fremtidige indbetalinger svarer til den forventede nutidsværdi af fremtidige ydelser.

Aktiver og passiver
Selskabets aktiver ved udløb er præmier og indskud akkumuleret og forrentet med det opnåede stokastiske afkast. Ønskes nutidsværdien af selskabets aktiver ved udløb, tilbagediskonteres med det opnåede stokastiske afkast.

Selskabets passiver ved udløb er beregningsmæssigt lig med præmier og indskud med fradrag for den garantipris, der skal bestemmes, akkumuleret og forrentet med kontorenten. Ønskes nutidsværdien af selskabets passiver ved udløb, tilbagediskonteres med det opnåede stokastiske afkast.

Aktiverne minus passiverne kaldes for merværdierne. Kontorenten fastlægges i det enkelte år som det forventede afkast med et tillæg eller fradrag i det omfang, merværdierne er positive henholdsvis negative. Tillægget/fradraget er fastsat efter et princip om, at merværdierne skal afdrages over en vis periode. Denne periode kaldes for udjævningsperioden, og der er mulighed for, at udjævningsperiodens længde kan afhænge af, hvorvidt merværdierne er positive eller negative. Hvis et eventuelt fradrag fører til et afkast, der er mindre end den garanterede rente, sættes kontorenten dog til den garanterede rente. Dette kan forekomme, når aktiverne er »meget mindre« end passiverne som følge af kurstab.

Det kan indvendes, at fastlæggelse af kontorenter i virkeligheden er en langt mere kompliceret proces, hvor også konkurrencehensyn inddrages. Her skal understreges, at modellen for fastlæggelse af kontorente er en »model«, der kan raffineres. Der er dog tale om en kontorentemodel, der formentlig opfanger de væsentligste praktiske forhold.

Prisen for rentegaranti
Ifølge ækvivalensprincippet fastlægges prisen for rentegaranti som det fradrag i præmien, der medfører, at forventet nutidsværdi af fremtidige indbetalinger er lig forventet nutidsværdi af fremtidige ydelser.

Idet passiverne ved udløb kan opfattes som ydelserne, kan dette præmiefradrag også bestemmes som det fradrag, der medfører, at forventet nutidsværdi af aktiverne ved udløb er lig forventet nutidsværdi af passiverne ved udløb.

Garantiprisen opgøres passende i procent af den løbende præmie/indskuddet.

Beregnede priser
Nedenstående tabel 4.2 er et udsnit af de beregnede garantipriser. Øvrige beregninger findes i bilag 4.

Alle garantipriser er opgjort i pct. af løbende præmier under forudsætning af, at afkastene følger AR (1)-modellen beskrevet under de fælles beregningsforudsætninger. Et realt afkast på 3,4 pct. svarer ifølge de fælles beregningsforudsætninger til en investeringssammensætning på 20 pct. aktier og 80 pct. obligationer. En udjævningsperiode på (10;5) svarer til, at positive merværdier udloddes over en periode på 10 år, mens negative merværdier forsøges opkrævet over 5 år. Med »forsøges« menes, at de negative merværdier kan være så store, at en udjævning over 5 år vil føre til en forrentning lavere end den garanterede rente. Her forrentes kundens konto som nævnt med den garanterede rente.

Ønskes eksempelvis prisen for en rentegaranti på en 20-årig præmiebetalt opsparing under forudsætning om et realt afkast på 3,4 pct., en inflation på 3 pct. og en bonuspolitik svarende til udjævningsperiode på (10;5), viser tabellen, at garantien på 2,5 pct. koster ca. 2,9 pct. af præmien, mens en garanti på 4,5 pct. koster ca. 5,9 pct. af præmien. Således fås en pris på garantiforskellen på 3 procentpoint.

Tabel 4.2 viser, at prisen for garantien stiger med stigende løbetid, stigende garanteret rente og faldende inflation. I forbindelse med stigende løbetid/stigende garanteret rente er forklaringen naturligvis, at selve garantien forøges i tid/rente og derfor bliver dyrere. Den faldende inflation svarer ifølge fælles beregningsforudsætninger til faldende nominelt afkast (realt afkast + inflation), uden at dette modsvares af faldende usikkerhed/spredning i afkastets variation. Det lavere forventede afkast giver naturligvis en øget risiko for tab, dvs. øgede garantipræmier.

Med hensyn til udjævningsperioden viser tabel 4.2, at prisen stiger ved en mere offensiv bonuspolitik (udjævningsperioden nedsættes ved positive merværdier og øges ved negative merværdier), mens den falder ved en mere defensiv bonuspolitik (udjævningsperioden øges ved positive merværdier og nedsættes ved negative merværdier).

Udover præmierne er også fordelingen af tabet interessant. I tabel 4.3 er tabsfraktilerne angivet for en inflation på 2 pct. og 3 pct. og en udjævningsperiode på (10;10). Disse skal læses således, at der for en forsikring med løbetid 20 år ved 2 pct. inflation og en opgørelsesrente på 4,5 pct. er 5 pct. henholdsvis 1 pct. sandsynlighed for, at tabet ved udløb overstiger 25 pct. henholdsvis 35 pct. af kundens konto ved udløb. Tabet er beregnet efter betaling for rentegaranti.

De viste tabsfraktiler er beregnet ud fra markedsværdier. Da obligationerne i eksemplerne udgør 80 pct., og da disse i praksis bogføres til matematisk kurs, vil det kun være en andel af tabsfraktilen (måske 20 til 40 pct.), der vil indgå i det bogførte regnskab. Dette skal haves in mente, når modellens resultater sammenlignes med resulater fra modeller, der opererer med bogførte værdier for obligationer. Tabet skal i praksis dækkes ind via bonusudjævningshensættelserne eller egenkapitalen.

Tabel 4.2

Prisen for en rentegaranti i pct. af den løbende præmie

Tabel 4.3

Tabsfraktiler ved opgørelsesrente på 4,5 pct.

4.4.2 Buffermodellen

Under de fælles beregningsforudsætninger om aktivernes afkast og under forskellige inflationsforudsætninger giver modellen udtryk for, hvor stort et fradrag der bør foretages i indbetalinger på 5 pct. beregningsgrundlag B forårsaget af merrentegaranti, for at der skabes balance i forhold til indbetalinger på 3 pct. beregningsgrundlaget. Desuden giver modellen indikation af hvilke buffere, der er nødvendige ved anvendelse af et 5 pct. beregningsgrundlag og et 3 pct. beregningsgrundlag under forskellige inflationsforudsætninger. Svingningerne i afkastet på aktivsiden modelleres via det bogførte afkast for obligationer og markedsafkastet for aktier.

Aktiver
I modellen repræsenteres aktier med 5 pct. realrente som en AR (1)-model, jf. de fælles beregningsforudsætninger.

Obligationer og indeksobligationer antages i bogført afkast at give 3 pct. udover inflationen, der som middelværdi har de fælles inflationsforudsætninger på 2 pct. respektivt 3 pct. og en standardafvigelse på 1,5 pct.

Standardafvigelsen på 1,5 pct. er baseret på forløbet af stigningen i nettoprisindekset siden 1984. Stigningen i nettoprisindekset indgår som bekendt direkte i såvel realrenteafgiftsloven som ved reguleringen af indeksobligationerne.

Antagelsen om 3 pct. realrente hænger sammen med den manglende mulighed for at opnå de 3,5 pct., der indgår i realrenteafgiftsformlen samt markedsforholdene for indeksobligationer. For nye investeringer vil det i en årrække være vanskeligt bare at opnå 3 pct. realt.

Afkast for aktier og obligationer vægtes i overensstemmelse med forudsætningerne om aktivsammensætningen med en aktieandel på 20 pct. Alternative beregninger fremgår af bilag 5.

Passiver
Passiver består af livsforsikringshensættelser (LIVHENS) med en buffer som residual. Livsforsikringshensættelserne inkl. opskrivning med depotrenten bestemmes ved den fastlagte bonusstrategi.

Bufferen er således lig AKTIVER - LIVHENS og kan skrives BUFFER x LIVHENS, hvor BUFFER er den relative buffer givet ved:

BUFFER=Bufferen/LIVHENS = AKTIVER/LIVHENS-1

BUFFER vil normalt være positiv, men kan blive negativ ved ugunstigt afkast afhængigt af, hvor forsigtigt depotrenten fastsættes.

Bonusstrategi
Uanset om den garanterede grundlagsrente er 5 pct. eller 3 pct. tilstræbes en fælles bonusstrategi så alle forsikringer får en depotrente på minimum 4,5 pct. Kun hvis AKTIVER udgør mindre end 98 pct. af LIVHENS nedsættes depotrenten for forsikringer med 3 pct. grundlagsrente til opgørelsesrenten 2,5 pct.

Anvendelsen af opgørelsesrenten i stedet for den garanterede grundlagsrente forudsætter, at det kombinerede omkostnings- og sikkerhedstillæg på 0,5 pct. fuldt ud er til disposition til dækning af rentegarantien og således ikke forudsættes anvendt helt eller delvist til eksempelvis omkostningsdækning eller til at sikre, at dødeligheden for livsbetingede forsikringer er betryggende.

Depotrenten fastsættes til

Bonusudlodningsgrad x BUFFER

dog minimum 4,5 pct. respektivt 2,5 pct. som beskrevet.

Bonusudlodningsgraden er et udtryk for, hvor offensiv bonusstrategien er. Ved bonusudlodningsgrad 1 (100 pct.) søges hele bufferen løbende tømt. Ved bonusudlodningsgrad 0 ydes der kun opgørelsesrente på 4,5 pct. svarende til grundlagsrente 5 pct. Ved grundlagsrente 3 pct. ydes også 4,5 pct. B dog kun 2,5 pct., når BUFFER er mindre end B 2 pct. Herved fås et indtryk af den reelle betydning af den højere rentegaranti.

Fradrag for merrentegaranti
I nedenstående tabel 4.4 er gennemsnittet af BUFFER efter 5, 15 og 25 år bestemt ved 20.000 simulationer ved 3 pct. respektiv 5 pct. grundlagsrente afhængig af inflation og bonusudlodningsgrad.

Det fremgår, at BUFFER-gennemsnittet ved 3 pct. grundlagsrente er større end ved 5 pct. grundlagsrente svarende til, at man i ugunstige situationer ved 3 pct. grundlag kan nøjes med at give en lavere depotrente. En større BUFFER er alt andet lige udtryk for, at der bliver mindre til kunderne. Merbuffere i tabellen er således et udtryk for den fordel, man opnår ved 5 pct. grundlagsrente, og man kan herudfra fastsætte et fradrag for merrentegaranti for at sikre, at der bliver en rimelig balance mellem indbetalinger ved 5 pct. grundlagsrente og 3 pct. grundlagsrente.

Tabel 4.4

Gennemsnit af BUFFER

Bufferstrategi
Modellen viser behovet for buffere for en allerede tilvejebragt forsikringsopsparing med en grundlagsrente på 3 pct. sammenlignet med grundlagsrente på 5 pct., når man betragter det opsparede beløb som indbetaling.

I tabel 4.5 angives 95 pct.-fraktilen respektivt 99 pct.-fraktilen for BUFFER observeret ved 20.000 simulationer efter 5 år, 15 år og 25 år, således at BUFFER er endnu mindre end de angivne størrelser i 5 pct. respektivt 1 pct. af tilfældene. Det fremgår, at behovet for buffere er meget afhængig af grundlagsrente og inflationsforudsætninger. Fraktilerne skal læses således, at der for en forsikring med løbetid 15 år ved 2 pct. inflation, en opgørelsesrente på 4,5 pct. og en bonusudlodningsgrad på 0 er 5 pct. henholdsvis 1 pct. sandsynlighed for, at tabet ved udløb overstiger 7 pct. henholdsvis 13,7 pct. af kundens konto ved udløb.

Tabel 4.5

Fraktiler for BUFFER

Sammenfatning
Resultatet af modellen viser behovet for ved lavere inflationsniveau at foretage en korrektion i bonussystemet vedrørende indbetalinger, der opnår 5 pct. grundlagsrente for at skabe balance mellem indbetaling ved 5 pct. grundlagsrente og 3 pct. grundlagsrente. Ved en forventet inflation på 2 pct. vil et FRADRAG via bonussystemet i størrelsesordenen 2 pct. af indbetalingerne skabe en rimelig balance. I tabel 4.4 angives eksempelvist ved løbetid 15 år og en bonusudlodningsgrad på 40 pct., at der bør foretages et FRADRAG på 1,9 pct. Stiger inflationen, kan fradraget nedsættes eller bortfalde for fremtidige indbetalinger.

4.4.3 Solvensmodellen

Generelt
Modellen beregner en pris for den afgivede rentegaranti bestemt på grundlag af den finansielle risiko for, at et selskab i enkelte år vil have en bogført solvens, der ligger under en nærmere fastsat minimumsgrænse.

Modelantagelser
Modellen fremskriver et selskab i 30 år ud fra en initialbeskrivelse af selskabets forhold og udfra sandsynlighedsfordelinger for fremtidig obligationsrente, aktieudvikling og inflation. Endvidere indgår bonuspolitikken.

Modellen anvender gældende regler hvad angår bogføring og bestemmelse af realrenteafgiftssatsen.

Aktieafkastet er beskrevet ved en autoregressiv model af 1. orden, jf. de fælles beregningsforudsætninger, ligesom porteføljesammensætningen svarer til de fælles beregningsforudsætninger. Inflationen forudsættes at være 2 pct.

Bonuspolitik
Modellen beregner det simulerede selskabs realrenteforhold, og der følges den bonuspolitik, at der ikke gives bonus, hvis solvensen er mindre end den forudsatte grænse, samt at bonus udgør en forudsat del af forskelsbeløbet, hvis solvensen er over denne grænse.

Den financielle risiko
Den økonomiske risiko ved brug af en given grundlagsrente kan opgøres på flere måder, og prisen på rentegarantien vil i høj grad bero på forskelle i, hvad der vil ske i en given situation, hvor garantierne træder i kraft.

Man kan f.eks. forestille sig følgende:

Princip 1 B uden tilbagebetaling:

I de år, hvor solvensen kommer under en vis minimumsgrænse, registreres forskellen, og der tilføres udefra de nødvendige midler for at genoprette minimumssolvensen. Selv om man få år efter skulle have tilstrækkelige midler, sker der ingen tilbagebetaling af de tilførte midler.

Princippet kan beskrives som en slags finansiel genforsikring.

Princip 2 B med tilbagebetaling:

Dette princip adskiller sig fra princip 1 ved, at der i videst muligt omfang sker tilbagebetaling af de midler (inkl. renter), der er tilført som følge af, at garantierne er trådt i kraft.

Princippet kan beskrives som en finansiel genforsikring med en slags +loss carry forward*.

Garantiprisen vil være større for princip 1 end for princip 2. Hvilket princip, man anvender, er et selskabspolitisk spørgsmål.

Modellen beregner prisen for garantien, som en pris, der skal betales i tillæg til præmien.

Eksempler

Nedenfor er vist resultatet af en række modelkørsler.

Tabel 4.6

Garanteret rente 4,5 pct. Solvens ud over det ønskede udloddes med 1/3

Startsolvens: Angiver selskabets initiale solvens som en procentdel af hensættelserne.

Minimumslovens:Angiver ved hvilken solvensgrænse, garantien træder i kraft, og der skal tilføres midler.

Ønsket solvens: Angiver hvad solvens mindst skal være, for at der gives bonus.

Nettobidrag: Angiver de initiale indbetalinger ) udbetalinger i pct. af hensættelserne. Nettobidraget inflationsreguleres i modellen.

Princip: Som beskrevet ovenfor.

Pris af bidrag: Angiver prisen for garantien udtrykt i pct. af indbetalingerne. Det er forudsat, at indbetalingerne udgør 4 pct. af hensættelserne.

Pris som rente: Giver prisen for garantien som en rentemarginal.

Kontorente: Angiver den gennemsnitlige kontorente, der er ydet.

Slutsolvens: Angiver den gennemsnitlige solvens efter de 30 år.

Eksempel 1 forudsætter, at der ikke er nogen solvens i forvejen, og at der heller ikke ønskes opbygget en sådan. Det er endvidere forudsat, at eventuelle indbetalinger i perioden opvejes af udbetalinger.

Man kan sige, at eksempel 1 er beregning af den +rene* garantipræmie.

Forskellen i pris for de to principper er betydelig B en faktor 10. Det dyreste princip B princip 1 B vil til gengæld for den højere pris, betyde højere kontorente og højere slutsolvens.

Eksempel 2 er som eksempel 1, blot forudsættes det, at der tilføres nye penge. Dette sætter prisen lidt op.

Eksempel 3 forudsætter, at der er og tilstræbes en solvens, der typisk svarer til lovens minimumskrav. Prisen stiger lidt, da den måles i forhold til hensættelserne, der er mindre end den samlede formue.

Eksempel 4 svarer til eksempel 3, blot med tilførsel af nye penge. Prisen stiger.

Eksempel 5 forudsætter, at selskabet har en initialsolvens på et fornuftigt niveau i forhold til aktivsammensætningen, samt at det tilstræbes, at denne solvens opretholdes. Garantien træder dog først i kraft, hvis vi kommer under lovens minimum.

Man ser, at prisen nu bliver væsentligt lavere.

Eksempel 6 er som eksempel 5 med nye penge. Prisen stiger en del, fordi de nye penge også skal have opbygget den ønskede solvens, hvilket også går ud over den ydede kontorente.

Nedenfor er de samme eksempler blot med 2,5 pct. rentegaranti.

Tabel 4.7

Garanteret rente 2,5 pct. Solvens ud over det ønskede udloddes med 1/3

Tabel 4.8 opsummerer forskellene ved en garanteret rente på henholdsvis 4,5 pct. og 2,5 pct.

Tabel 4.8

Differencen på priser og solvens ved garanteret rente på 4,5 pct. og 2,5 pct.

Man ser det ikke uventede, at garantipriserne er væsentligt lavere for 2,5 pct. end for 4,5 pct. og for princip 2 negligable. Imidlertid er de ydede kontorenter lavere og slutsolvensen større. Dette skyldes, at bonuspolitikken med hvert år at udlodde 1/3 af den overskydende solvens er meget forsigtig, hvis man kun garanterer 2,5 pct.

Nedenfor er angivet tallene med en mere aggressiv bonuspolitik:

Tabel 4.9

Garanteret rente 2,5 pct. Solvens ud over det ønskede udloddes med 2/3

Man ser, at priserne stiger markant, og at de ydede kontorenter og slutsolvensen niveaumæssigt mere svarer til 4,5 pct.-scenariet.

Sammenfatning
Det bemærkes, at prisen for en rentegaranti på 4,5 pct. er betydelig, såfremt man benytter det princip, at midler tilført i dårlige år ikke tilbagebetales i gode år. Prisen er endvidere afhængig af, hvilken startbuffer der indregnes.

Princippet om tilbagebetaling af tilførte midler giver naturligvis en lavere pris for rentegarantien, men resulterer også i en lavere forrentning.

Anvendes 2,5 pct. i garanteret rente, bliver prisen væsentligt lavere og er, i forbindelse med princippet om tilbagebetaling, nærmest negligeabel.

Betragtes tilsvarende eksempler, under forudsætning om 3 pct. i inflation, fremstår overordnet det samme mønster, som er beskrevet ovenfor. Der er dog sket et markant fald i priserne for rentegarantierne. Priserne falder med en faktor på mellem 2 og 20, jf. den nærmere gennemgang af modellen i bilag 6.

Antagelsen om 3 pct. i inflation medfører i praksis, at priserne for rentegarantier på både 2,5 pct. og 4,5 pct. er ganske ubetydelige, når princippet om tilbagebetaling anvendes på selskaber med en rimelig startbuffer.

4.4.4 Etårsmodellen

Modellen tager udgangspunkt i de fælles forudsætninger om en porteføljesammensætning på 20 pct. aktier og 80 pct. obligationer. Aktieafkastet forudsættes at variere i overensstemmelse med AR(1)-modellen beskrevet under de fælles beregningsforudsætninger. Der forudsættes ingen tilfældig variation i obligationsafkastet, der følger det matematiske kursopskrivningsprincip med udgangspunkt i den fælles forudsætning om et realt middelafkast efter realrenteafgift på obligationer på 3 pct.

Modellen er en etårsmodel. Prisen for rentegarantien opgøres i forhold til selskabets medioreserve før forrentning. Der forudsættes et retrospektivt bonussystem, hvor bonus først tilskrives endeligt ved udgangen af et kalender/regnskabsår. Størrelsen af bonus afhænger bl.a. af årets bogførte afkast efter realrenteafgift.

Hvis det bogførte afkast efter realrenteafgift er større end den garanterede rente plus rentegarantipræmie, betaler kunden den fulde rentegarantipræmie. Den opkrævede rentegarantipræmie forudsættes henlagt til en særlig fluktuationsreserve. Eventuelt overskydende afkast udbetales som rentebonus. Er afkastet større end den garanterede rente men mindre end den garanterede rente plus rentegarantipræmien, mister selskabet hele eller dele af rentegarantirisikopræmien. Er afkastet mindre end den garanterede rente, opkræves der ikke rentegarantirisikopræmie, og selskabet må trække på fluktuationsreserven for at opfylde rentegarantien.

Tabel 4.10

Pris for rentegaranti i pct. af reserven

Det skal bemærkes, at prisen i denne model opgøres i procent af selskabets reserver, hvor de øvrige modeller typisk opgør prisen i procent af præmien eller indskuddet.

Det skal endvidere bemærkes, at rentegarantipræmiemodellen også vil kunne anvendes i et prospektivt bonussystem, det vil sige i et system, hvor bonus tilskrives løbende henigennem året ud fra nogle ved årets begyndelse prognosticerede bonussatser. Her kan man på passende vis ved årets udgang måle den anvendte depotrente op imod en beregnet »tilladelig« forrentning. Hvis den »tilladelige« forrentning, defineret som bogført afkast efter reduktion med opnåelig rentegarantirisikopræmie, overstiger depotrenten, har man indtjent overskud. Og modsætningsvis har man et underskud, hvis depotrenten overstiger den »tilladelige« forrentning.

Modellen er nærmere gennemgået i bilag 7.

4.5 Forskelle på en finansmatematisk og en forsikringsmatematisk prisfastsættelse

Alle de beskrevne modeller i dette afsnit tager udgangspunkt i den forsikringsmatematiske prisfastsættelse. Med forsikringsmatematisk prisfastsættelse menes den måde, hvorpå aktuarer traditionelt fastsætter prisen på en ydelse med risiko. Prisen fastsættes efter det forsikringsmæssige ækvivalensprincip, dvs. prisen sikrer, at præmier og ydelser forventes at balancere.

Som et grundlæggende alternativ til denne forsikringsmatematiske prisfastsættelse, foreslår finansmatematikere en anden prisfastsættelse, der tager udgangspunkt i princippet om »ingen arbitrage«. Dette princip udtrykker, at prisen skal fastsættes, så hverken kunden eller selskabet opnår mulighed for at opnå en sikker gevinst. Denne mulighed fremkommer, hvis der eksisterer værdipapirer, der er korrelerede med ydelsen, og hvis man ved handel med disse værdipapirer kan »hedge« (ramme) ydelsen og tilmed opnå en gevinst. Princippet om »ingen arbitrage« giver i nogle simple tilfælde en entydig pris. I andre mere komplicerede tilfælde gives en mængde af priser, der alle lever op til princippet om »ingen arbitrage«.

Der foreligger en del litteratur, som foreslår den finansmatematiske prisfastsættelse anvendt ved fastsættelse af priser på forsikringsprodukter. Dette har primært drejet sig om såkaldte unit-linked produkter med garanti. Det er dog gennemgående i den foreliggende litteratur, at den beskæftiger sig med mere simple ydelser end den rentegaranti, der behandles i denne rapport.

Finansmatematikken er et velegnet instrument til beregningen af prisen på en række forsikringsprodukter. Der er imidlertid en række forhold, der gør det tvivlsomt at basere beregningen af rentegarantibetalingen herpå. Eksempelvis medfører den løbende fastlæggelse af bonuspolitik, hvor kundens forrentning også er et udtryk for selskabets politiske og strategiske overvejelser under hensyntagen til lov om forsikringsvirksomhed og ikke udtryk for en detaljeret aftale mellem kunde og selskab, at der er tale om et kompliceret finansielt produkt, der synes vanskeligt at håndtere i den finansmatematiske teori.

4.6 Modelkonklusioner

Formålet med kapitel 4 var at undersøge muligheden for at beregne prisen for forskellige garanterede grundlagsrenter med fokus på G 82 5 % og G 82 3 % grundlagene. Formålet med at beregne disse priser B og vurdere forskellene på dem B var bl.a. at sikre, at kunder, der har tegnet forsikringer på forskellige garanterede beregningsgrundlag, sikres en ensartet behandling.

Kapitlet har vist, at beregningen af en pris for en given rentegaranti kan modelleres på flere forskellig måder afhængig af den indgangsvinkel, der anlægges. En eventuel betaling for rentegarantien kan eksempelvis beregnes som en procentdel af præmien, alternativt som en procentdel af selskabets livsforsikringshensættelser.

Der kan således ikke peges på en generel model for en eventuel indførelse af betaling for en rentegaranti. Modellerne kan derimod anvendes som et analytisk værktøj i selskaberne, når selskaberne vurderer problemstillingen i relation til egne kunder og øvrige selskabsspecifikke forhold.

Modelberegningerne viser dog samstemmende, at specielt scenarier med vedvarende lav inflation må give anledning til, at selskaberne nærmere vurderer, om der i den nuværende situation, hvor der ikke gennem bonustildelingen eller på anden måde skelnes mellem kundegrupper med forskellige garantirenter, på tilstrækkelig vis sikres de forskellige kundegrupper en rimelig behandling.

Modelberegningerne angiver i øvrigt nogenlunde ensartede prisforskelle mellem prisen for rentegarantier på henholdsvis 2,5 pct. og 4,5 pct. Med en inflation på 2 pct. viser eksempelvis Markedsværdimodellen en prisforskel på 1,3-3,7 pct. (Tabel 4.2, løbetid 10-20 år, og udjævningsperiode (10;10)), mens Buffermodellen angiver en prisforskel på 1,4-1,9 pct. (Tabel 4.4, løbetid 15-25 år og bonusudlodningsgrad 40 pct.), når prisen i begge modeller udtrykkes i procent af indbetalingerne. Videre giver Solvensmodellen, når der ikke foretages tilbagebetaling en prisforskel på 0,15 pct. (Tabel 4.6 og 4.7, eksempel 1) udtrykt som en rentemarginal, hvilket i praksis over et normalt opsparingsforløb niveaumæssigt svarer til resultaterne for Markedsværdimodellen og Buffermodellen. Resultatet af Etårsmodellen antyder tilsvarende et prisniveau på omkring 2 pct. (Tabel 4.10).

Ved vurdering af modellernes resultater er det vigtigt at have for øje, at modellerne ikke arbejder på baggrund af helt samme forudsætninger. Nogle af de forhold, der i praksis påvirker prisen på rentegarantien er bl.a.:

Graden af den forudsatte variation i afkastniveauet. Markedsværdimodellen arbejder eksempelvis primært med markedsværdier, hvilket, alt andet lige, indebærer en lidt større variation i afkastet, mens eksempelvis Buffermodellen og Solvensmodellen tager udgangspunkt i, at obligationer bogføres til matematiske kurser.

Forskelle i den forudsatte bonuspolitik kan være årsag til nogle af forskellene i resultaterne.

Resultaterne er videre afhængige af, om prisen søges fastsat ud fra beregninger på policeniveau, svarende til Markedsværdimodellen og Buffermodellen, eller beregningerne tager udgangspunkt i fremskrivninger på selskabsniveau hvor solvenskrav mv., svarende til Solvensmodellen, direkte inddrages i prisfastsættelsen.

Endelig følger det selvsagt, at de tilgrundliggende antagelser om størrelsen af inflationen, realafkastet på aktier, og det forhold at realrenteafgiftsbeskatningen er antaget opretholdt i sin nuværende form, er afgørende forudsætninger. Ændringer i disse forudsætninger vil kunne forrykke konklusionerne.

8. I praksis betyder det, at en positiv/negativ afvigelse fra middelværdien af afkastet i år 1 forventes at reducere/øge middelværdien af afkastet i år 2 med 30 pct. af, hvad afvigelsen i år 1 afveg fra middelværdien.

9. Denne værdi fremkommer ved at multiplicere det reale afkast med inflationsniveauet på følgende vis: 1,02 x 1,034 - 1 = 5,47 pct.

Udgivet af Finanstilsynet februar 1998
Elektronisk version ved Net Bureauet